A: Edwin Chen, phi công
Lý thuyết độ đo nghiên cứu những tổng quát hóa của chiều dài/ diện tích/ thể tích. Ngay cả trong không gian 2 chiều, không có một phương pháp rõ ràng để tính diện tích của một hình phẳng như sau:
chứ đừng nói là tính “diện tích” của một hình kỳ quặc trong một không gian nhiều chiều hơn hay một không gian hoàn toàn khác với không gian thông thường của ta.
Giả sử rằng, bạn muốn đo độ dài của cuốn sách (để coi đọc lâu hay mau ấy mà). Vậy chọn độ đo nào là hợp lý? Một độ đo có thể sử dụng là số trang. Thường thì người ta đánh số trang sách, do đó đây là một độ đo khá dễ dùng. Tuy nhiên, những phiên bản sách khác nhau (ví dụ: bản bìa cứng vs bản bìa mềm) thường sẽ có cách đánh số trang khác nhau, do đó độ đo này không bảo toán tính bất biến qua các phiên bản (ta muốn tính chất này đơn giản là vì dù bìa cứng hay mềm, thời gian để ta đọc cùng một nội dung cũng như nhau thôi). Hơn nữa, không phải loại sách nào cũng đánh số trang (như Kindle chẳng hạn), do đó độ đo này không giúp ta đo được độ dài của cuốn sách.
Một độ đo khác, tốt hơn một chút là số lượng từ trong cuốn sách. Và giờ độ đo này bất biến bất chấp phiên bản, và kể có là sách Kindle đi nữa cũng vậy thôi. Ta thậm chí còn có thể đo độ dài của 2 cuốn sách, vì độ dài của 2 cuốn sách nối tiếp nhau, được đo bằng số lượng từ, chỉ đơn giản là tổng số từ của cả 2 cuốn.
Tuy nhiên, nếu như cuốn sách ta đo là một cuốn sách tranh thì sao? Không thể được – sách tranh rõ ràng qua đặc biệt để sử dụng độ đo này. Có thể nói sách tranh có độ đo bằng không (vì nó có từ nào đâu) nhưng khi đó ta có thể mắc phải tình huống: một cuốn sách có độ đo không lại mất thời gian dài để đọc (cứ coi như ta có một cuốn sách tranh vô cùng dài ấy). Vậy thì lựa chọn tốt hơn có lẽ đơn giản là nói cuốn sách tranh là không đo được. Vậy nên khi có ai hỏi về độ đo của cuốn sách tranh, ta chỉ việc lờ đi và tiếp tục sử dụng độ đo cũ, điều này giúp cho độ đo ta đã chọn là một xấp xỉ tốt cho việc đo độ dài thời gian đọc một cuốn sách và đồng thời giữ nguyên các tính chất đẹp khác.
Một cách tương tự, lý thuyết độ đo đặt những câu hỏi như sau:
- Làm thế nào để xác định một độ đo trên một không gian? (Trên không gian Euclide, ta có 2 lựa chọn là độ đo Jordan và độ đo Lebesgue)
- Độ đo của ta thỏa mãn những tính chất nào? ( ví dụ: nó có bất biến qua phép tịnh tiến không, có bất biến qua phép quay không, có cộng tính không?)
- Những đối tượng nào là đo được, và những đối tượng nào ta có thể nói không cần phải đó để bảo toàn những tính chất đẹp của độ đo đang có? (Một ví dụ kinh điển là quả bóng Banach – Tarski có thể chia tách ra thành 2 quả bóng có hình dạng và kích cỡ y hệt như quả bóng ban đầu, do đó ta sẽ không muốn đo được quả bóng này, nếu không sẽ làm mất tính cộng tính của độ đo của ta).
Và một khi ta xác định được “diện tích tổng quát” (độ đo của ta), ta có thể thử tổng quát cả những đối tượng toán học khác nữa. Ví dụ, nhớ lại rằng tích phân Riemann trong giải tích cổ điển đo diện tích một hình dưới một đường cong. Điều gì sẽ xảy ra nếu ta thay thế tích phân Riemann bởi một độ đo mới và tổng quát hơn (chẳng hạn, tích phân Lebesgue.). Lý thuyết độ đo cũng giúp các phát biểu trong xác suất chính xác về mặt toán học.( ví dụ, ta có thể nói chính xác khi tung một đồng xu cân đối vô hạn lần thì mặt ngửa sẽ “gần như không bao giờ” xuất hiện quá 50% có nghĩa là gì.)
Stevie 