DÃY KHỚP

Tác giả: Senia Sheydvasser.

(Lược dịch từ câu trả lời của tác giả trên Quora).

Ta sẽ tập trung vào dãy khớp trong trường hợp đơn giản nhất có thể: Dãy khớp của các nhóm giao hoán. Bản chất của những dãy khớp này là gì?

Đầu tiên, hãy thử đưa ra một định nghĩa chặt chẽ. Giả sử rằng ta có một số nhóm $G_1, G_2, \ldots, G_n$ và các đồng cấu nhóm.

$\phi_1: G_1 \rightarrow G_2$ ,

$\phi_1: G_2 \rightarrow G_3$ ,

$\vdots$

$\phi_{n-1}: G_{n-1} \rightarrow G_n$

Từ đây ta có thế vẽ sơ đồ dạng như sau:

$G_1 \xrightarrow[]{\phi_1} G_2 \xrightarrow[]{\phi_2} \ldots \xrightarrow[]{\phi_{n-1}}G_n$ .

Hãy nhìn vào một yếu tố của sơ đồ trên, có lẽ ta sẽ chú ý đến nhóm $G_i$ :

$\ldots \xrightarrow[]{\phi_{i-1}} G_i \xrightarrow[]{\phi_{i}} \ldots$

Nhớ lại rằng, trong lý thuyết nhóm, $ker( \phi_{i})$ và $Im( \phi_{i-1})$ đều là những nhóm con của nhóm $G_i$ . Ta nói sơ đồ trên khớp tại $G_i$ nếu 2 nhóm con này bằng nhau. Và sơ đồ trên được gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại mọi nhóm con trong sơ đồ.

Tại sao ý tưởng này lại hữu ích? Chà, ví dụ cơ bản đầu tiên là, bạn có thể mô tả tính đơn cấu hay toàn cấu dưới dạng dãy khớp. Ta sẽ kí hiệu $0$ là nhóm chỉ có duy nhất một phần tử. Khi đó, đồng cấu $A \rightarrow B$ là một đơn cấu nếu và chỉ nếu dãy

$0 \rightarrow A \rightarrow B$

là một dãy khớp, và nó là một toàn cấu nếu và chỉ nếu

$A \rightarrow B \rightarrow 0$

là một dãy khớp.(Độc giả hãy tự lấy giấy bút ra và kiểm chứng dựa trên định nghĩa dãy khớp để hiểu rõ hơn).

Do đó, đồng cấu $A \rightarrow B$ là một đẳng cấu khi và chỉ khi

$0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow 0$

là một dãy khớp.

Okay, có vẻ ví dụ này không quá thú vị cho lắm. Dẫu sao, ta chỉ mới xét dãy khớp với không quá 4 nhóm. Hãy xét một dãy khớp phức tạp hơn như dưới đây

$0 \rightarrow A \xrightarrow[]{\phi} B \xrightarrow[]{\psi} C \rightarrow 0$

Tính khớp tại $A$ cho ta biết rằng $A \rightarrow B$ là một đơn cấu. Tương tự, tính khớp tại $C$ cho ta biết $B \rightarrow C$ là một toàn cấu. Câu hỏi là, tính khớp tại $B$ cho ta biết điều gì?

Nhắc lại định lý đẳng cấu thứ nhất – nếu $\psi: B \rightarrow C$ là một đồng cấu nhóm, thì

$B/ker(\psi) \cong Im(\psi)$

Nhưng dựa vào lập luận ở trên, ta đã biết rằng $ker(\psi)=Im(\phi)=\phi(A)$ và $Im(\psi)=C$ . Vậy ta có

$B/\phi(A) \cong C$ .

Ngược lại, nếu như ta có $B/\phi(A) \cong C$ , thì ta có thể xây dựng dãy khớp

$0 \rightarrow A \xrightarrow[]{\phi} B \xrightarrow[]{\psi} C \rightarrow 0$

Như vậy, 2 công thức khác cùng mô tả một thông tin như nhau. Tuy nhiên, viết dưới dạng dãy khớp thường đặc biệt đơn giản hơn, nhât là khi ta gặp phải những sơ đồ dài và phức tạp, thậm chí có những sơ đồ mà các dãy giao nhau.

Chia sẻ:

Có liên quan

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời