VÀNH NOETHERIAN=TỔNG QUÁT HÓA CỦA PID (VÀNH CHÍNH)

Dịch và chỉnh sửa từ bài viết trên math3ma.com

Khi lần đầu giáo sư giới thiệu với tôi về vành Noetherian, tôi cứ thắc mắc mãi tại sao ông cứ phải nhấn mạnh cái mớ này như vậy. Điều gì đã khiến cho vành Noetherian đặc biệt đến thế? Bài viết này đưa ra một cách tiếp cận có vẻ “trực giác” cho nguyên nhân mà chúng ta nghiên cứu loại vành này.

Một vành được gọi là vành Noetherian nếu như mọi ideal của vành này đều hữu hạn sinh. Định nghĩa chỉ ra ngay rằng một vành chính (PID) là một vành Noetherian, vì mỗi ideal của vành chính được sinh bởi đúng một phần tử. Chà, nói một cách ngắn gọn,

“Tính Noetherian” là một tính chất, mà, có thể xem như là một tổng quát hóa của tính “PID”.

Hay như cách mà K.Conrad diễn đạt, một cách đẹp đẽ,

“Tính chất mỗi ideal chỉ được sinh bởi một phần tử, nói chung, không bảo toàn trong lý thuyết xây dựng các vành (chẳng hạn vành $\mathbb{Z}$ là một vành chính, nhưng vành $\mathbb{Z}[x]$ thì không), nhưng tính chất mỗi ideal sinh bởi hữu hạn các phần tử thì vẫn được giữ nguyên trong rất nhiều các trường hợp ta xây dựng vành mới từ vành đã có. Ví dụ,… mọi vành bậc hai $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ đều là vành Noetherian, nhưng rất nhiều vành bậc hai không phải là PID.”

À há, bạn nhận ra rồi đấy! Chúng ta thích những vành mà ideal chứa trong những vành này là hữu hạn sinh, vì chúng giúp làm cho làm toán tương đối “đẹp”. Ví dụ, ta có thể hỏi, ” Cho trước vành $R$ là vành Noetherian, liệu ta có thể xây dựng một vành mới cũng là vành Noetherian luôn không?”*. Theo định lý cơ sở Hillbert, câu trả lời là có! Ta luôn có thể xây dựng vành đa thức $R[x]$ là một vành Noetherian nếu như trước đó vành $R$ là vành Noetherian. (và tương tự vành $R[x_1,\ldots,x_n]$ cũng là vành Noetherian).

Một lưu ý cuối cùng, điều kiện để một vành là vành Noetherian gồm 3 điều kiện tương đương nhau. Do đó, khi kiểm tra tính Noetherian của một vành, ta có thể sử dụng bất kỳ điều kiện nào trong 3 điều kiện trên, vì có thể điều kiện này sẽ dễ sử dụng hơn điều kiện kia, trong một số trường hợp nhất định. Các điều kiện bao gồm:

Mệnh đề: Cho $R$ là vành giao hoán có đơn vị là 1. Các phát biểu sau là tương đương:

Mọi dãy tăng ngặt các ideal $I_1 \subset I_2 \subset \ldots$ trong $R$ đều hữu hạn, (tức là tồn tại số tự nhiên $N$ đủ lớn sao cho $I_n=I_N$ với mọi $n\geq N$ .
Một họ khác rỗng các ideal trong $R$ đều có phần tử tối đại.
Mọi ideal $I\triangleleft R$ đều hữu hạn sinh.

Phác thảo chứng minh:

$(1 \Rightarrow 2)$ Lấy $X$ là một họ khác rỗng các ideal trong $R$ . Lấy $I_1\in X$ , nếu $I_1$ là phần tử tối đại của họ $X$ , thì kết thúc chứng minh. Nếu không, tồn tại một ideal $I_2 \supset I_1$ trong $X$ . Nếu $I_2$ là ideal tối đại trong $X$ thì kết thúc chứng minh. Nếu không, lại tồn tại ideal $I_3 \supset I_2 \supset I_1$ trong $X$ . Tiếp tục thuật toán này, thì thuật toán phải dừng lại sau hữu hạn bước, nếu không, ta sẽ xây dựng được một dãy tăng ngặt các ideal trong $R$ , trái với giả thiết ở 1.

$(2 \Rightarrow 3)$ Lấy tùy ý một ideal $I$ trong $R$ và xét họ $X =\left\lbrace J\triangleleft R:J\subset I \right\rbrace$ và mọi $J \in X$ đều hữu hạn sinh. Vì $(0) \subset I$ nên $X \neq \emptyset$ . Ta sẽ chứng minh $J = I$ . Thật vậy, giả sử $I \neq J$ , ta có thể chọn được $a \in I \setminus J$ . Khi đó, ta xây dựng được ideal $J +(a)$ . Dễ thấy ngay đây là một ideal hữu hạn sinh chứa trong $I$ , và do đó là một phần tử trong $X$ . Nhưng như vậy thì $J \subsetneq J+(a)$ , trái với giả thiết tối đại của $J$ trong $X$ . Vậy $I=J$ , và do đó $I$ là hữu hạn sinh.
$(3 \Rightarrow 1)$ Xét dãy $I_1 \subset I_2 \subset \ldots$ là một dãy tăng các ideal tùy ý trong $R$ . Khi đó xét tập $I = \bigcup_{k=1}^\infty I_k$ . Dễ dàng kiểm tra được đây là một ideal, và theo giả thiết, $I = (a_1,\ldots,a_m)$ . Tồn tại số tự nhiên $N$ đủ lớn sao cho $a_i \in I_n$ với mọi $i = \overline{1,m}$ và $n \geq N$ . Do đó $I_n = I_N$ với mọi $n \geq N$ . Vậy dãy tăng trên là dãy hữu hạn.