BÀI TOÁN MỞ TRONG LÝ THUYẾT SỐ.

Bài dịch lại từ blog Baking and Math của tác giả Yen Duong.

Một nhà lý thuyết từng cố thuyết phục tôi rằng làm việc với hữu hạn các số nguyên tố thì mọi thứ đều rất dễ dàng , nhưng chuyển qua vô hạn số nguyên tố thì lại cực kì khó. Cô phác thảo ra một vấn đề, mà tôi sẽ chia sẻ ở dưới đây, khá thú vị trong lý thuyết số.

Ta nói một số $a$ là số square-free nếu như với mọi số nguyên tố $p$ , $p^2$ không chia hết $a$ . Ta hãy nhớ lại rằng, các số nguyên tố là những số tự nhiên mà chỉ có ước tự nhiên là 1 và chính nó, chẳng hạn $2,3 ,5 ,7 ,\ldots$ . Mọi số tự nhiên đều có thể viết lại dưới dạng tích các số nguyên tố, nên một số là số square-free nếu như nó không có ước chính phương. Các số square-free không nguyên tố đầu tiên có thể kể đến như: 6, 10, 14,…

Một khi đã nắm được định nghĩa, ta có thể ngay lập tức đặt ra một số câu hỏi. Có bao nhiêu số square-free tất cả? Đáp: có vô hạn số square-free, vì mỗi tích 2 số nguyên tố phân biệt lại là một số square-free và ta đã biết có vô hạn số nguyên tố. Nhưng vô hạn này lớn tới mức nào? Nhớ rằng, không phải mọi loại vô hạn đều như nhau. Câu hỏi tốt hơn phải là, tỉ số giữa số lượng các số square-free và các số không square-free là bao nhiêu?

SquarefreeDensityPlot — Hình ảnh từ Wolfram Alpha của các số tự nhiên từ 1-10000: các ô trắng tương ứng với các số square-free. 1-100 được biểu diễn qua đường nằm ngang ở đáy của hình. Ở góc dưới bên trái bạn có thể thấy các số 1,4,8,9,12 được tô đen.

Đáp: Cỡ khoảng $\frac{6}{\pi^2}$ là các số tự nhiên là số square-free, và người ta đã biết đến kết quả này từ năm 1951. Trong 20 số đầu, bạn có thể tính ra được 60% các số là số square-free, và $\frac{6}{\pi^2}$ có nghĩa là khi bạn lấy số càng lớn, tỉ lệ các số square-free với các số tự nhiên sẽ tiến gần tới 60,97%. Cơ mà điên vãi phải không? Cái số $\pi$ từ đầu tòi ra thế này?

Chà, bạn có thể thử kiểm tra thử từng số số nguyên tố một. Ví dụ, 1/9 các số tự nhiên chia hết cho 9, nên 8/9 số các số tự nhiên không chia hết 9. Tương tự, 1/4 các số tự nhiên chia hết cho 4, nên 3/4 các số không chia hết cho 4. Vậy nên có $3/4 \times 8/9 = 2/3$ số các số tự nhiên đồng thời không chia hết cho cả 4 và 9. Bạn có thể làm tương tự cho bất kỳ tập hữu hạn $S$ các số nguyên tố nào, và kết luận rằng tỉ lệ $x$ không chia hết cho $p \in S$ là $\prod_{p \in S} \left(1-\frac{1}{p^2}\right)$ . Vậy ta có thể lập giả thuyết rằng kết quả này có thể mở rộng ra cho trwowngfh ợp vô hạn số nguyên tố, tức là số các số square-free là

$\prod_{p \in \text{P}} \left(1-\dfrac{1}{p^2}\right)$ . (1)

Và bằng công thức xuất hiện từ năm 1737 sau (Ồ, nó là công thức Euler này) : $\sum_1^{\infty}n^{-s}=\prod_{p \in \text{P}}\frac{1}{1-p^{-s}}$ , với vế trái là định nghĩa của hàm zeta Riemann $\zeta$ và kết quả quen thuộc là $\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$ , ta suy ra ngay kết quả ở (1).

Nhưng vấn đề nằm ở bước giả thuyết chuyển qua vô hạn, liệu ta có thể làm thế không? Câu trả lời là được, nhưng trải qua nhiều bước rất khó! Tôi cũng không hiểu và không giải thích ở đây.

Bài toán mở: Liệu đa thức $f(x)=x^4+2$ có sinh ra vô hạn các số square-free không? Và nếu có, xác suất ta nhận được một số square-free khi thay ngẫu nhiên một số tự nhiên $x$ là bao nhiêu?

Ta có thể thay đổi câu hỏi: thay vì thay vào một số tự nhiên ngẫu nhiên, ta có thể hỏi tương tự khi thay ngẫu nhiên một số nguyên tố cũng được.

Bài toán mở (cùng với giả thuyết): Nếu $f(x)$ là một đa thức bất khả quy với bậc không bé hơn 3, đa thức đó có thể sinh ra bao nhiêu số square-free?

Quào, lý thuyết có cả tá các bài toán còn tồn động được phát biểu một cách đơn giản như thế. Khi đọc các tài liệu để viết post này, tôi tình cờ đọc được về bài toán ma phương. Một ma phương là một hình vuông là tổng các số trên đường chéo, đường ngang, đường dọc đều bằng nhau.

magic square — Tổng các hàng, cột và đường chéo đều bằng 15.

Bài toán mở: Xây dựng một ma phương 3×3 với các giá trị ở các ô đều là các số chính phương.

Hi vọng bài post hôm nay mang tới cho bạn một số thứ thú vị trong lý thuyết số. Cá nhân tôi không thực sự thích lý thuyết số, nhưng tôi đã cố không để cảm nhận cá nhân xen vào bài post này.

Chia sẻ:

Có liên quan

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời