MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MỞ RỘNG HỮU HẠN

Abstract Algebra: The Basic Graduate Year – Robert B. Ash

Bài 1: Cho $\alpha$ là một phần tử đại số trên trường $F$ . Lấy $\beta \in F(\alpha)$ tùy ý, chứng minh rằng $[F(\beta): F]$ là một ước của $[F(\alpha):F]$ .

Bài 2: Dựa vào bài 1, ta biết rằng $-1+\sqrt{2}$ có đa thức tối tiểu trên $\mathbb{Q}$ với bậc không vượt quá 2. Hãy xác định đa thức này.

Bài 3: Cho $\alpha$ là đại số trên trường $F$ và $\beta \in F(\alpha)$ . Hãy xây dưng một thuật toán để tìm ra đa thức tối tiểu của $\beta$ trên $F$ .

Bài 4: Chứng minh rằng nếu $\alpha$ là phần tử siêu việt trên $F$ , thì $F(\alpha)$ đẳng cấu với trường các thương sinh bởi vành các đa thức có hệ số trong $F$ .

Bài 5: Cho trường $F$ . Chứng minh rằng đa thức $f \in F[X]$ là bất khả quy khi và chỉ khi ideal $I = \left\langle f \right\rangle$ là ideal tối đại.

Bài 6: Cho dãy mở rộng trường $F \leq E \leq L$ và $\alpha \in L$ . Đa thức tối tiểu của $\alpha$ trên $F$ có quan hệ như thế nào đối với đa thức tối tiểu của $\alpha$ trên $E$ ?

Bài 7: Cho $\alpha_1,\ldots, \alpha_n$ là các phần tử đại số trên $F$ . Ta có thể liên tiếp thêm các phần tử này vào trường $F$ để nhận được trường $F[\alpha_1,\ldots,\alpha_n]$ chứa tất cả các đa thức có hệ số trong $F$ theo $\alpha_i$ . Chứng minh rằng