MỘT BÀI TẬP LÝ THUYẾT TRƯỜNG NHỎ

Các ví dụ và phản ví dụ trong đại số – PGS.TS. Mỵ Vinh Quang

Đề bài: Cho $k_1, k_2,\ldots,k_n$ là các số nguyên đôi một nguyên tố cùng nhau và đều là các số không chính phương. Chứng minh rằng $\sqrt{k_n} \notin \mathbb{Q}\left(\sqrt{k_1},\sqrt{k_2},\ldots,\sqrt{k_{n-1}}\right)$ (do đó, $\left[\mathbb{Q}\left(\sqrt{k_1},\sqrt{k_2},\ldots,\sqrt{k_{n}}\right):\mathbb{Q}\right]=2^n$ ).

Lời giải:

Thật vậy, dễ thấy nhận xét đúng với $n=1$ .

Giả sử nhận xét đúng với mọi $k \leq n-1$ và $\sqrt{k_n} \in \mathbb{Q}\left(\sqrt{k_1},\sqrt{k_2},\ldots,\sqrt{k_{n-1}}\right)$ . Khi đó $\sqrt{k_n}=a+b\sqrt{k_{n-1}}$ với $a,b \in \mathbb{Q}\left(\sqrt{k_1},\sqrt{k_2},\ldots,\sqrt{k_{n-2}}\right)$ .

Nếu $b = 0$ thì $\sqrt{k_n} \in \mathbb{Q}\left(\sqrt{k_1},\sqrt{k_2},\ldots,\sqrt{k_{n-2}}\right)$ , trái với giả thiết quy nạp.

Nếu $a=0$ thì $\sqrt{k_nk_{n-1}}=k_{n-1}b \in \mathbb{Q}\left(\sqrt{k_1},\sqrt{k_2},\ldots,\sqrt{k_{n-2}}\right)$ , trái với giả thiết quy nạp

Nếu $a \neq 0, b \neq 0$ thì

$\sqrt{k_{n-1}} = \dfrac{k_n-a^2-b^2k_{n-1}}{2ab} \in \mathbb{Q}\left(\sqrt{k_1},\sqrt{k_2},\ldots,\sqrt{k_{n-2}}\right)$

trái với giả thiết quy nạp.

Vậy trong mọi trường hợp đều gặp mâu thuẫn.

Như vậy $\sqrt{k_n} \notin \mathbb{Q}\left(\sqrt{k_1},\sqrt{k_2},\ldots,\sqrt{k_{n-1}}\right)$ và nhận xét được chứng minh.

Hỏi xàm:

Trong chứng minh trên, giả thiết các số nguyên đã cho đôi một nguyên tố cùng nhau được sử dụng ở đâu?
Giả thiết quy nạp được nêu ra trong chứng minh là gì? Hãy chỉ ra mâu thuẫn trong từng trường hợp nêu trên với giả thiết quy nạp của bạn.

Nhận xét (có thể cũng xàm nốt): Trong các cách chứng minh mình từng tìm được cho bài này, đây là một trong 2 chứng minh ngắn nhất (đúng ra là ngắn thứ nhì thôi vì thầy lập luận tắt quá). Đây là một chứng minh mà theo mình là rất hay, nó tổng quát hóa cho một bài toán sau trong giáo trình Trường và Lý thuyết Galois của thầy Bùi Xuân Hải: Tính $\left[\mathbb{Q}\left(\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{11}\right):\mathbb{Q}\right]$ .

Lời giải cho một bài tập tương tự bài này được Ian Stewart trình bày trong giáo trình Galois Theory của ông, và lời giải này khá cồng kềnh, nặng kĩ thuật và rất khó mở rộng (mình vẫn nghĩ là mở rộng được, nhưng có lẽ cần biết thêm về cách tính nhóm Galois). Một chú ý khác, là lời giải bài tập trên chính là lời giải một bài tập đánh dấu * trong giáo trình của Ian (coi như thầy giúp các bạn giải một bài khó rồi đấy :>). Bạn đọc quan tâm có thể tìm đọc thêm, cuốn sách được xem là một trong những cuốn kinh điển cho những ai muốn đào sâu về lý thuyết Galois. Nhân tiện bạn nào có hứng thú với đại số thì mua sách ủng hộ thầy và NXB nhá :)).

Chia sẻ:

Có liên quan

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời